多項方程式的根的變換 謝新綠老師

壹: 前言

甲:提出問題

(一)一元二次方程式ax²+bx+c = 0有二根α, β滿足

根與係數的關係:α+β =, α β=，試問一元三次(或以上)方程式的根是否也有跟與係數的關係?其關係式如何表示?

(二)設一元n次方程式

有n個根

(1) 取S(m) =

如何求出S(m)的值

(2) 取L(x) = ax+b, a,bR, a0且令 i = 1,2,3,…,n

那麼以為根的n次方程式如何求得?

(3)取I(x)=,若L(α_i )0且r_i=I(α_i ), I=1,2,3,…,n,那麼以r_{1 ,} r₂,…, r_n為根的n次方程式如何求得

(三)一元二次方程式的解可用公式解表示，那麼三次方程式的解是否可用公式解表示?

乙:預備定理: ( 見附錄(一),(二) )

(1)因式定理

(2)代數基本定理

貳、問題解答

(一)根與係數的關係: (維塔根定理 Vieta’s root theorem)

(二)S(m)的求解方法: 遞迴關係式的運用

(三)根的變換

(1)線性變換---(1)負根變換(2)平移變換(3)倍根變換

(2)倒根變換

(四)三次方程式的公式解求法: (見附錄(三))

參:實例應用:

(範例2)已知方程式有三根α, β, γ，試求下列各式的值

(1)

(4)試求α, β, γ的值.

肆:結語

在三次方程式中，判別式Δ0的條件下，可順利求得三根，但是當Δ<0時，u, v的三次方根就比較複雜，此問題可在複數的開n次方根定理中獲得解決，至於四次方程式的根式解求法，留給同學們去思考，推演，另外五次(或五次以上)方程式的公式解並不存在，同學可參考大學代數、分析的書籍獲得最後結論.

伍:問題研究:

(問題二) 已知一個11次方程式的前三次為並且方程式的根形成一個等差數列，試求此方程式的根.

(問題三) 已知多項方程式有四個實根，其中a, bR，試證明此方程式中的根至少有一個會小於1.

(一)因式定理:

設a是一實數，則x-a為f(x)的因式的充要條件為f(a) = 0

(二)代數基本定理:設n是一個自然數，則每一個複係數n次方程式至少有一個複數根.

(三)三次方程式的根式解----Cardano 公式

設一元三次方程式為

➀

➁令y = u + v代入y³ + py + q = 0得到

u³ + v³+(p+ 3uv)(u+v)+ q = 0

③令p+3uv = 0 推出

④

⑤

其中為1之立方根，滿足= 1且

➅

因此 y³+py+q = 0 之三根為

並可求出原方程式的三根x₁, x₂, x_{3 .}