中學數論 –3.拿許棋 許志農教授
在這節裡，我們介紹一個丹麥人發明的遊戲。數年後，拿許(得過諾貝爾經濟學獎)給了一個看似不可思議且頗為無厘頭的證明，我們將此遊戲稱為拿許棋。
接下來，我們來介紹拿許棋的玩法。
3.1拿許棋盤與玩法
如下圖所示，6×6的拿許棋盤是以36個正六邊形舖成的大菱形
遊戲規則：平、直雙方輪流將正六邊形的格子填上"—"、"∣"兩字，填過的格子不可再填。直方玩者要在兩條黑虛線地帶間建立一條連續的∣字鏈；同樣的，平方玩者亦要在兩片白色區域間建立一條連續的—字鏈。遊戲直到有一方成功為止，成功建立連續字鏈者勝。如下圖：平、直雙方在經過十八手之後，所填出的—、∣字分佈圖。
(直的須貫穿兩黑虛線區；平的要貫穿兩空白處)
因為上圖中，箭頭通過處是平方所建立的一條貫穿白色區域的一字鏈，所以此盤遊戲平方獲勝。
(同學玩幾遍後，教授統計先玩者比後玩者較易贏，且此種遊戲不會和棋。若先玩者必贏，則不能算是公平的遊戲。)
*此遊戲不能和局的驗証
如果有一盤拿許棋下到最後，直方無法建立一條連續的∣字鏈，我們僅需說平方一定可以建立一條連續的—字鏈即可。操作情形是這樣的：拿一支剪刀將拿這棋盤兩塊白色地帶剪掉，並將平方所填入的—字正六邊形格子剪掉(如下圖所示)。
這時將你的左右手分別拿住上下黑虛線區往外拉。直方沒有建立連續的∣字鏈，所以上下黑虛線區域是不連的，也就是說，貼近北邊路徑必是平方所建立的一條連續的—字鏈。因此，拿許棋是不會和棋的。
動手玩數學
如下圖：3×3的方格棋盤(可產生24條水平或垂直的小線段)稱之為3階鬼腳棋盤。虛、實雙方分別依序將此24條水平或垂直的小線段塗以虛線段或實線段。當虛方的虛線段可以從左邊連接到右邊時，虛方勝；反之，當實方的實線段可以從上邊接到下邊時，實方勝(誰先連線，誰先贏)。例如下圖是虛、實雙方交戰之後的結果，明顯的可以看出，實方的實線段可以從上貫穿到下方，所以此盤由實方贏。
(可推廣至n╳n)
有關此遊戲：
(1)是否有可能和棋。(很容易就和棋，但是高手易和或下錯易和)。
(2)是否為公平的遊戲。
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作業(共三題)
1.本題目是一則三維度的不等式(因為含有
三個未知數)。照理說，每個維度都應有對應的不等式存在才是，所以我們提出最一般化的猜想如下：設實數
讀者應該容易利用數學歸納法證明這個猜想吧!
2.一條環形公路上有
個加油站，它們所儲的汽油總量足夠一輛汽車在整個環形公路上行駛一週。證明：帶著空油罐(容量很大)的汽車能夠從某個汽油站出發(帶上該站的汽油)，完成環形公路上整個旅程。
3.有三堆石頭，分別是10，13，15顆。兩人玩輪流拿石頭的遊戲，規定每次拿石頭時，必須從三堆中的某一堆拿(至少拿一顆)，將石頭拿完者獲勝。試問：先玩者或者是後玩者有必勝的策略?