“非線性”及“混沌”的簡介

陳鞏教授演講 許秀聰老師整理

1950年出生於高雄，1968年成功中學畢業，1972年清華處所畢業，1974~1977美威斯康辛數學系，在兩所大學擔任助教、副教授，最後在德州一公立大學任教授。德州此大學人口數全美第五大，化學系最優秀。

長年擔任學校教授，使自己心態永保年輕，看見各位很親切，覺得我是one of you。

我先問各位一個問題：20世紀，基礎科學上最大的進展在哪裡？請舉出四、五個學科來。

一學生回答：生物科學發現DNA。

另一學生回答：Computer的方法有一突破，故可將其從應用科學放入基礎科學。

再一學生指：量子力學雷射貢獻Quantium Mechanics。

老師指名：太空科學是應用科學，而非應用基礎科學。

其他學生答：相對論Relativity。

最後教授指出：Nonlinearity Sci. & chaos非線性及渾沌。

這是再二十世紀才被人實際研究的，它和線性有何不同。

舉例：

推廣至n個變元亦同。

其特性為 一實根，兩共軶須根

三實根

與線性有解則唯一，有所不同，一般非線性方程皆是多解。

一直到卡當才針對三次方程式，將朋友的解法整理，而得三次公式解。

（3）離散模型

＝aⁿ⁺¹x₀ 故人口是指數成長

此為人口學的基本公式，為Malthusian（馬爾薩斯）law。但因社會資源有限，人口不可能無線增長，故此公式須作修正。

∵人口損失使彼此人數過多所捵生的衝突，故大致是相對兩者，約同於x_n²量。

此為改進公式，稱為Modified Malthusian law

此公式經修正後，也通用其他族群，如池塘的魚量。

針對次公式，作數學變化量降低的簡化

可以較輕鬆的代得多年後的人口數，但對魚群養殖者而言，尚須有長期預測的功能，才能做出建設性的有益處理。此種長期預測的研究菱程醫學們，被稱為動力系統Dynamical System。

上例所舉為離散模型Discrete，下面舉連續模型Continuous model。

（4）

在繞行中，有可能各個行星排成一直線，使彼此間的吸引向心力太大，而使地球離開原本運行軌道，故古代占星術會預言各行星排一線，則為世界末日降臨。

此類探討地球是否能擁保穩定地繞台揚運行，極為天文學的基本探究領域。譬如月球被一隕石撞離軌道，導致地球軌道偏離，此種長期預測指出地球在太陽系中並非絕對安全。

再回頭談（3）離散模型

雖說已有族群數的變動公式，但其結果比想像複雜。譬如魚池養殖業，有時會發現在同樣飼養情形下，魚群數會在不同的時期有孑然不同的量，會週期地變多再變小。有時是二年一週期的變動，有時右更為四年一週期，其因素並非是氣候…等。這問題由Robert May接手，它當初在理論分析也看不出其道理，故交由電腦程式執行此公式，看看所得結果。作此遞代，執行一萬次左右，發現將最後一百次圖像顯示時，有二個遞代值，此即為二週期的變化。再將a值改以較大的值代入，則出現四個遞代值，此即為週期為四的現象。A值再繼續增大，則為八個遞代值，而a值再繼續增大，則一值一分為二，直到遞代值成為密密麻麻的一片，則週期性被破解，成為chaos（渾沌型態生成）。

此為週期加倍成為chaos。這是很有明的例子，裡面使用的函數y_n+1＝f（y_n） 其中初始值y₀R。

此f（x）＝ax（1－x）若改以f′(x)＝a sinx作執行，所得圖形即為有趣，基本上仍是週期加倍的圖像

（實驗逼近而得）目前對次數尚未找出和其他數有任何關聯。不論f（x）＝ax（1－x）或f′(x)＝a sinx或其他函數，此值不變。它為Mitchell Feigentaum之constant。

Mitchell他曾拿自己做實驗，希望打破一天24小時的成規，讓自己今天8點起床，明天延至10點起床…，而且想東西喜歡邊走邊實驗，看跟大自然的週期不同有何結果！因為他這個實驗不可能獲得任何結果，故引起老闆的不滿。就是這位奇特而聰明的研究者再物理上找出此一重要常數，但在數學上有粗淺證明，尚未做嚴格驗證。

（有同學提問：似不宜稱為宇宙常數，應即使在另一宇宙空間，此常數應仍適用）

繼續對圖像觀察，發現在密密麻麻中存在空白線，但若將此空白快加以放大，仍發現原本總突有同等模式，但∵電腦的近似取法∴無法完整呈現。∴即使有空白區塊，仍是chaos。

此種比例尺具縮小，即是Fractal碎形學中所說的縮小與原本同型。此Fractal除了數學的使用，亦可做多方應用，如卡通片中的動物皮毛或森林的數葉細部描繪，不是於人類手工執行，就可用這種Fractal的技術去執行，此為Fractal的實質貢獻。

Feature of Chaos（Chaos的特質）

（1）有很多週期解

（2）對初始條件非常敏感。

其意我們由一氣象學的例子來解釋。

有一氣象學的工作員很喜歡數學，在電腦出現後，亦寫一遞代方程式

以此遞代函數作長期預測，以掌控天氣狀況。在電腦的執行幫助下，繪出氣象圖。有一回因它有一氣象問題要由電腦執行，看其結果；執行完畢後想再一遍，為節省時間，則執行次數減為一半，發現此一更改使結果與前次的結果大為不同。原因是它的輸入值有些為差異，如第一回31.25°→第二回31°，則會使後面的誤差相當大，而形成另一成型模式。

這跟我們生活在物理世界中各個測量均存在有誤差，並不致產生太多影響有所不同。

古典物理 輸入有些微差距→輸出亦同

非線性系統 輸入有些微差距→輸出大大不同

有一英文詩：因少了一根鐵釘，使馬蹄鐵壞了。

因馬蹄鐵壞，使馬兒死了。

因死了一匹馬，使騎訊騎兵陣亡。

因死了一傳訊騎兵，使這場戰役輸了。

因這場戰役打輸，國家也就滅亡了。

這是非線性系統特有的連鎖變化，使節過出乎意料之外。故氣象學中蝴蝶的振翅，也許造就美國的一場颶風。

（3）若一模型有一週期為三的解，指f（x）＝y，f（y）＝z，f（z）＝x

則任何週期的解它都存在。這是動力系統中有名的Shakovskin Theorem.

底下是師生座談

〈問題一〉∵電腦的近似取法，∴有些圖像並未抓到繪出，故在周期三的情形下，也有可能有些不夠穩定的解夾雜其中，故也有無數多個可能的周期解，這就是被稱為渾沌的主因。

〈問題二〉我曾字型看渾沌學的書籍，對其中有些介紹不能了解？另外，既然連牛頓力學等這些科學大師所提出的理論都具許多不穩定因素，那麼學習是否有何價值？

教授回答：須多找原文的渾沌書多方比較，才能對如此深奧的理論內容有所了解，而且連我久不教也會忘記。而所謂穩定或不穩定的判定，並非那麼淺顯。不要說是天體問題，光是三體問題－太陽、地球、月亮能研究徹底，借可以在歷史上留名。

老師回應：在流體力學上，如果流速太快，則整個系統混亂，故也出現渾沌。這根數學的絕對性的強調似有不同，科學上的量測本有取有效數字的限制，所以對龐大的物質體系本有許多發掘空間。就因為人類對宇宙的不夠了解，所以才會對渾沌採行如此的研究觀點。

教授後續：的確，宇宙未明渾沌現象時存而我們未解。但是否要將畢生投注此一研究，但這問題的確有許多困難度，如自己是否為一大天才，自己所擁有的實驗設備是否比較頂級，可以看到比他人更精密的現象，我個人較期望投入新學說，裡面有較多的發展空間。

教授介紹一書：Chaos