球面三角學簡介

球面三角學簡介

北一女中教師 陳珮如

一、前言

我們在最近三角函數的單元，才剛學過平面三角形的正、餘弦定理，其實這樣的幾何性質並非在平面上才有，在球面上的球面三角形也有類似的正、餘弦定理，希望我們今天這堂課可以藉由對球面的了解，讓大家進入非歐幾何，甚至黎曼幾何的殿堂，繼而了解幾何學與現今科學發展的關係，讓有興趣的同學可以自己在未來多加涉獵。

我們知道在16世紀時，麥哲倫不畏艱難的完成了歷史上重大的冒險----航行地球一圈，這個舉動不僅將地理大發現帶上了最高點，加強了世界的聯繫關係並為資本主義提供了市場。同時它也為地圓學說提出了一個客觀的實證，為建立新的天文學與地理學奠定了基礎，並對近代科學的發展有不可估量的意義。

但這樣的實證方式，其實是有極大風險的，根據歷史記載，當時一起出航的船隻有5艘、水手有265人，而最後歷時三年航行地球一週，卻只有18人生還。因此同樣的，現在場景換成是我們想了解宇宙的形狀為何，我們難道也派艘太空船去航行嗎?此外就目前所知，宇宙實在太大了，我們絕對不可能在資訊不足的情形下用實證方法去了解宇宙的。其實，在17世紀時，高斯在他擔任測量局長的期間，曾經利用測量面積的方法也驗證了地球是圓的，他利用在地表上取三點，並切割成許多小三角形，再量取每個小三角形的面積並加起來，但這樣所得的結果並不近似直接用平面上的三角形面積公式算原來的三角形的結果，而是近似球面三角形的面積公式。這個想法給我們一個啟發，或許即使我們不需航行宇宙，也可以以理論計算推導而知道宇宙形狀。

由許多天文觀測的結果我們認為宇宙應該不是平直的，直到近代，愛因斯坦的廣義相對論為宇宙空間的結構提出了更圓滿的解釋，他提出空間的結構不可能離開物質而獨立存在，空間的結構和性質取決於物質的分布，即物質的存在會使四維空間發生彎曲，引力並不是真正的力，而是時空彎曲的表現，如果物質消失，時空就回到平直的狀態。因此如果我們可以證明宇宙是彎曲的，則可為愛因斯坦的理論提供更可信的數學實證。

但目前並沒有發展出可以準確測量宇宙中任三點的弧長、面積的方法，所以如果未來儀器夠精良，可以準確的測量宇宙中任三點的面積(例如:三顆恆星)，就可以為宇宙是平的(歐氏空間)或是一個彎曲的空間(這是廣義相對論的預測)提出一個客觀的證據。甚而或許由數學式的演算，可知宇宙的形狀，但這應該是拓撲學的範疇了。

今天我提供的內容只是球面幾何學，事實上對於一般的曲面我們就稱為流形(manifold)，研究的工具是微分幾何，現在教的正弦、餘弦定理都是幾何學上的小域性(local property)，至於最後提的面積公式則是大域性(global property)，它們研究的是我們身處的空間，雖然我們並沒有跳出這個空間到更大的空間看我們生存的世界，但是卻仍可以對這個世界的形狀有一定程度的了解，據說，目前認為宇宙的形狀是一個輪胎面(Torus)，但應該還未定論。