柯西不等式是高中數學中,異於算術平均數(A.M.)大於等於幾何平均數(G.M.)的另一個重要的不等式,與算術平均數(A.M.)大於,等於幾何平均數(G.M.)一樣,礙於課程進度,任課老師可能無法證明或作完整的證明,往下將舉一些不同的證明,以茲參考.

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方法三:利用數學歸納法證明之.

接著利用數學歸納法證明之:

設n = k時,

當n = k+1時,

方法四:用向量的內積証之.

證明到此告一段落,下面將介紹一些柯西不等式的例子.

答:由柯西不等式得,

練習:求

練習:(1)例2可否用A.M.≧ G.M.解之 ?是的話,請證明之,否則說明理由.

證明:先將原式變形為

由柯西不等式可立得之.

練習:試證下列不等式

(2)分別以三角形之每一邊為邊作一正方形.若固定三角形的周長,試問何種三角形,

會使此三個正方形面積之和為最小 ?