期中考試題分析與診斷教學 陳清良老師
摘要
分析期中考式的成績，診斷老師的教學效果，並探討與學生學習的互動關係。
前言
期中考雖然是階段性的成就測驗，但也可作為階段性的診斷教學：由於筆者所任教的學校，高一數學課程遵照教育部規定，每週排定四小時，但是目前的教材卻是以每週編定五小時的教學內容，所以筆者想藉由此次期中考的試題分析，來探究學生的學習能力是否與此因素有關，並藉此提供老師們作為診斷教學的參考。
壹、試題內容
以下是本校八十八學年度第二學期第二次期中考高一數學試題。
測驗日期：五月十一日。
測驗人數：1226人。
測驗時間：七十分鐘。
測驗範圍：高中數學第二冊第二章三角函數的基本概念。
﹝試卷﹞
一、單一選擇題：（每題5分，共25分）
1.若a＝－sec125°，b＝cot(－325°)，c＝－sin265°，則a、b、c的大小關係下列何者正確？
（A）b＞a＞c （B）b＞c＞a （C）a＞b＞c （D）a＞c＞b。
2.如下圖正方形ABCD中，
＝2，P為內部一點，
△PBC為正三角形，則△PBC（斜線區域）為
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限。
5.在△ABC中，已知tanA．tanB＝1，則下列何者恆正確？
（A）
（B）∠C＝90° （C）∠A＝45° （D）
。
二、填充題：（每格5分，共50分）
1.設θ為銳角，且cosθ＋8sinθ＝4，則secθ＋tanθ之值為
2.設0°＜θ＜45°，若cos2θ－3cosθ．sinθ＋2sin2θ＝0，求cotθ＝
3.設θ為銳角，若sinθ，cosθ為方程式
x＋k＝0之兩根，試求常數k的值為
則△ABC的最大內角的度數為
度。
7.分別由某座鐵塔的正西方A點處與正南方B點處，測得塔頂的仰角為60°與30°，且
8.已知180°＜θ＜270°，且cosθ＝－0.6053，試根據cos52°40′＝0.6065，cos52°50′＝0.6041，以內插法求θ的近似值為
試求四邊形ABCD的面積為
三、計算證明題：（第1題10分，第二題5分，第三題10分，共25分）
1.已知△ABC的三邊長分別為a、b、c，
（1）若
，試證△ABC為鈍角三角形。
（2）若△ABC為銳角三角形，且a＝1，b＝2，
求c的範圍。
2.試利用平行四邊形定理證明三角形中線定理，
即證明：若△ABC中，
為
邊上的中線，
3.有一條東西向的筆直公路，某假由東往西行走，在其右側發現兩處突出的建築物A與建築物B，A在出發點O的北30°西，B在點O的北60°西。當某甲往西走2公里，到達P點後，發現B在其北30°西，A在其北15°東處，試求：
貳、試題難易度
一、試題分佈與配分
|
教材章節 |
教材內容 |
題數 |
配分 |
|
2－1 |
銳角三角函數 |
2 |
10 |
|
2－2 |
三角函數的基本關係 |
3 |
15 |
|
2－3 |
簡易測量與三角函數值表 |
1 |
5 |
|
2－4 |
廣義角的三角函數 |
3 |
15 |
|
2－5 |
正弦定理與餘弦定理 |
9 |
45 |
|
2－6 |
基本三角測量 |
2 |
10 |
二、各題答對率
|
選擇題 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
答對率（%） |
48 |
81 |
55 |
86 |
79 |
|
填充題 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
答對率（%） |
25 |
69 |
57 |
47 |
74 |
58 |
33 |
63 |
61 |
67 |
|
計算證明題 |
1 |
2 |
3 |
||
|
（1） |
（2） |
（1） |
（2） |
||
|
答對率（%） |
38 |
14 |
74 |
53 |
28 |
三、試題難易度分布
|
難易度 |
偏難 |
難 |
中等偏難 |
中等偏易 |
簡易 |
|
|
答對率（%） |
20以下 |
20∼30 |
30∼40 |
40∼50 |
50∼60 |
60∼90 |
|
題號 |
計1(2) |
填1 計3(2) |
填7 計1(1) |
選1填4 |
選3 填3，6 計3(1) |
選2，4，5 填2，5，8，9，10 計2 |
|
題數 |
1 |
2 |
2 |
2 |
4 |
9 |
|
配分 |
5 |
10 |
10 |
10 |
20 |
45 |
參、試題簡答與分析
|
選擇 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
答案 |
C |
B |
D |
D |
B |
由試題的難易度來看，本份試題有簡易題共65分，中等以上程度的同學一定可獲得及格，至於偏難或難的題型，佔了15分，可讓程度好的同學有挑戰高分的機會，雖然沒有檢驗本份試題的鑑別度，但也大略可看出本份試題可以分出程度。以下僅就本份試題大隊率教低或同學較溢出錯的題目作分析。
●選擇第1題的答對率只有48%，是有點意外，可見同學對於廣義角三角函數化成銳角三角函數再比較大小的概念不甚熟練。
1.若a＝－sec125°，b＝cot(－325°)，c＝－sin265°，則a、b、c的大小關係下列何者正確？
（A）b＞a＞c （B）b＞c＞a （C）a＞b＞c （D）a＞c＞b。
（解）a＝－sec125°＝sec55°＞1
b＝cot(－325°)＝cot25°＝tan55°＞tan45°＝1
c＝sin265°＝sin85°＜1
∴a＞b＞c
●選擇第3題是純粹式子的演算，過程也不繁雜，但只有55%答對率，顯見同學的計算能力卻有下降的疑慮。
●填充第4題是餘弦定理的應用，有些同學可能無法從等式中去判別哪一邊是最大邊，進而求最大角。
