數學的魅力

孫智偉教授 (南京大學數學系) E-mail： zwsun@nju.edu.cn

作為人類精神最原始的創造，只有音樂堪與數學比美。

邏輯是不可戰勝的，因為要反對邏輯還得使用邏輯。

僅以此兩句話作為開場白，提示數學文化和一般文化的差異頗大。

(一)數學文化的獨特性

1. 曲高和寡

2. 源遠流長

3. 是非分明

4. 純粹數學與應用數學並存

解數學一直是很多人有障礙的事，我認為一個原因是「曲高和寡」。

以數學發展的眼光來看，高中全部數學的內容學完，你的水平在十七世紀而已；即使學到大學微積分，也只不過到達十八世紀水平，因此數學的「源遠流長」也是這學科學習困難的原因之一，不似其它物理、化學沒有這麼長的發展史，社會學更是不能相提並論。

再來，數學的其它特色是「不為權威所左右」，任何一位年輕人只要對數學有好的見解都能出頭，沒有人會永遠屹立高位。此外，「純粹理論與應用」並陳稱為費馬最後大定理。如果要證明這個定理。必須學過數十年的數學，直到1995年才解決，動用了所有現代的數學，且世界上沒幾十人了解它的証明。這麼難証的定理，在廿世紀被証出來，可說是一大成就，但它有什麼用呢？它只是純數學。喜歡純數學的人，認為應用數學銅臭味十足。Jacobi就支持純數學，認為從古以來，一些似乎應用不上的數學到終卻可能有用。而另一些應用數學學派的人，則持另一觀點，認為我們應該研究一些跟生活有應用性的數學。因為相當多的數學內容是純粹理論範圍，所以它不必是一般人所理解接納，它可說是人類的「心靈活動」

（二）數學的美與和諧

數學家哈定（Hardy）曾說數學好不好的選擇標準是嚴肅（即正確）及美觀。數學的進行，極須想像，由此而建構出美的內容，數學比藝術更須想像，更需要靈感，也是最有理智的藝術，以下來看一些表現數學美的例子：

1.「勾股弦定理」

2.再舉另一例，數學中最重要的五個常數0、、I、、e

多奇妙的關係！

3.第三例子是四色定理：地圖上不管多少國家，分布情形複雜度如何，則想將相鄰國家用不同色隔開，至多只須四種不同顏色。

從上圖，知國家一多，至少要四色；但為何四色也是足夠多的數量，這個猜想也是很難証明的。直至1972年，兩數學家用電腦輔助，條列各種可能分布，然後証明為定理。

4分析中例子：

容易理解，但十分優美。

5.每個自然數都可表示成四個整數的平方和。如7=2²+1²+1²+1²，但7不能用三個整數平方和表示。這個問題由尤拉解決，而這問題延伸成：

目前已找到：

每個自然數可表示９個整數的立方和；

整數的四次方和；

37個整數的五次方和；

6.Goldbach的猜想

每個大於4的偶數都是兩個奇質數之和。

如： 　6=3+3　　12=5+7　　8=3+5　　14=7+7=11+3　　10=5+5

對此問題，大陸數學家陳景潤已做到一大突破，只要是足夠大偶數，可寫成兩部分之和，其一是質數，另一是質數或兩質數之積。

7.Collatz猜想：任何正整數進行此化約步驟：

→可以最後在某一步驟，得到a_n=1

這表示這些數將趨於穩定。

由上面這些例子，我們可感覺數學的美，有調和、優雅，這是所有數學家都知道的真正美感，音樂和數學可以說有共通的靈魂，只不過音樂是夢幻、而數學是現實。

(三) 代數方程求解引起的革命

考慮n次代數方程式

當n=1,2,都已有一般常用的求解公式；但對一般的n次方程式，又如何求解？

首先，作一平移變換，使次高項消去。

1535年，N. Fontana與Fior在2月22日公開競賽，其中比賽解三次式，而Fontana有辦法把對方所出的任何三次式解出故獲勝，後由Cardano將此求解公式寫入自己發表的書中，故世人稱三次公式求解為Cardano公式。

令x=a+b

首先，

四次根求解公式

∵左式已是完全平方，故只要右式亦成完全平方，則可兩邊開方求解

故須令二次判別式=0

請注意，這是t的三次式，故須用到Cardano解法

第三次式解決

再解出

由於以上三次，四次式的解法太複雜，而找尋過程有些巧合與偶然性，故Lagrange統一找輔助方程式，求得一至四次方程的求根公式。的但這手法到五次以上方程式即失效，五次方程式只有特殊的式子可解。

其中

Abel (1802~1029)証明只要五次以上的一般代數方程式求根公式不存在，所以大家都找不到。Abel所研究的數學內容，曾有另一位數學家評論這些足夠一般數學家工作150年，可見他是一位天才。

Galois則徹底解決方程式的求解，引入「群」的概念，找出判別方法，可知 構。簡單地說，Galois之前的代數是古典代數(初等)可放在高中學；而Galois之後的代數是高等代數，須放在大學學。

這兩位數學天才，在發展自己驚人的數學成就時，都因太過高深先進而被數學家摒棄，一直到很久以後才重獲重視。Galois的理論，一直到現代，有些大學教授也無法理解。Abel 27歲死於肺炎，Galois 21死於決鬥。

(四)集合論與數學基礎

Cantor當初提出集合論時，許多有成的數學家無法接受，故大加攻擊，甚至致使Cantor死於精神病院。但隨著時間流逝，Cantor的集合論被接受，甚至所有理論都要使用集合論。但集合論的大放光明，是在Russell提出悖論後造成的，

此悖論無從解決，問題出自集合的定義。很難作出一個完全清楚的定義，只要一下定義就很容易出錯，故數學家決定不下定義，如什麼是直線：沒有寬度的線就是直線。但這樣引起數學的第三次危機，後來數學分成三大流派：

Russell：邏輯主義學派，認為數學和邏輯是不可分的

Brouwer：直覺主義學派，曾說：上帝創造自然數，其他都是人為的。

Hilbert：形式主義學派，認為好的公理系統須有獨立性、相容性、完備性

Hilbert曾認為公理系統有完備性，故只要數學沒有矛盾，則整個體系套用都沒有矛盾。只要對的東西都存在証明，但Gödel打破Hilbert這個美思，裡面的內容指出，在數學內不能証明數學沒有矛盾，所以它仍有侷限性，「相容」和「完備」不能並存，想弄沒楚這個系統，有時須跳出這個系統才能達成。如想完全了解地球，可能要在地球外觀察，人類要想完全解出大腦的奧秘，似乎不可能。Gödel所提出的定理，既像數學，又似哲理。Gödel對現代邏輯的貢獻是不朽的，他的不朽超過了紀念碑。Gödel後來榮獲愛因斯坦勳章，Gödel定理一：任何一個公理可能列舉的包含算數的相容公理系統中，都有一個命題使他及其否定均在該系統內不可證，而且系統的相容性在該公理系統中得不到證明。